Fisica

Vettori

Prodotti vettoriali tra i versori degli assi:

Elettrostatica

$$k_0=8.99\cdot 10^9\frac{N{m}^2}{C^2}$$ $$q_e=-1.6\cdot 10^{-19}C=-e$$ $$m_e=9.11\cdot 10^{-31}kg$$

Moto di Cariche

$$\vec{r}=\overrightarrow{r_0}+\overrightarrow{v_0}t+\frac{1}{2}\vec{a}{t}^2$$ $$\vec{v}=\overrightarrow{v_0}+\vec{a}t$$

Per un corpo con carica $‘q‘$ e massa $‘m‘$ in un campo elettrico:

$$m\vec{a}=\vec{F}=q\vec{E}\to \vec{a}=\frac{q\vec{E}}{m}=\frac{q}{m}(E_x\vec{i}+E_y\vec{j})$$

Lavoro e Energia

$$L_E=|\vec{F}||\vec{s}|\cos {\theta }_{\vec{F},\vec{s}}$$ $$|\vec{F}|=|-e\vec{E}|=eE$$ $$L_E=\Delta E_k=\Delta U=q(V_A-V_B)$$ $$\Delta E_k=0-\frac{1}{2}{m}_e{v}_0^2$$

• in caso di corpo inizialmente fermo

$$P_E=\frac{L_E}{\Delta t}=-\frac{eEs}{\Delta t}=-\frac{eE{v}_0\Delta t}{\Delta t}$$

• potenza sviluppata dal campo elettrico
• negativa nel caso la forza elettrica si opponga al moto

Legge di Coulomb

$$k_e=\frac{1}{4\pi ϵ}$$

Campi elettrici

$$E(\vec{r})=k_e\frac{q}{|\vec{r}-\overrightarrow{r_o}{|}^2}\vec{u}$$

• campo elettrico prodotto in $‘\vec{r}‘$ da una carica puntiforme $‘q‘$ posta in $‘r_o‘$

$$V(\vec{r})=k_e\frac{q}{|\vec{r}-\overrightarrow{r_o}|}+K$$

• potenziale prodotto in $‘\vec{r}‘$ da una carica puntiforme $‘q‘$ posta in $‘r_o‘$

$‘\vec{F}=q_0\vec{E}‘$

• forza su una particella di carica $‘q_0‘$ posta in un campo elettrico

$‘\vec{p}=q\vec{d}‘$

• momento di dipolo elettrico

Dipolo elettrico

Momento del Dipolo $‘p=qd‘$

1. Piano Mediano Sul piano di direzione del campo elettrico é costante e uguale a quella della congiungente tra i due poli

   • le componenti $‘y‘$ si annullano
   $$\vec{E}=-k_e\frac{qa}{(\frac{d^2}{4}+y^2{)}^{3/2}}\vec{i}$$
   • per $‘|y|\gg a‘$ vale $$\vec{E}=-\frac{kp}{|y{|}^3}\vec{i}$$

2. Lungo l’Asse

   $$\vec{E}=k_e\frac{2qxd}{x^2-\frac{d^2}{4}}\vec{i}$$
   • per $‘|x|\gg a‘$ vale $$\vec{E}=\frac{2kp}{|x{|}^3}\vec{i}$$

Distribuzione Lineare e Uniforme Infinita

$$\vec{E}=2k_e\frac{\lambda }{r}\vec{u}$$

Legge di Gauss

Vale sempre, é una legge generale del campo elettrico.

$${\Phi }_{\sum ^{⃗}}={\int }_S\vec{E}\cdot \vec{n}dS=4\pi k_e\sum _{i\to \infty }{Q}_i$$

Valgono alcuni casi particolari

1. Simmetria Sferica di carica $‘E=k_e\frac{Q}{R^2}‘$

2. Simmetria Assiale $‘E=2k_e\frac{\lambda }{R}‘$

3. Simmetria Planare $‘E=2\pi k_e\sigma =\frac{\sigma }{2{ϵ}_0}‘$

Circuiti

Legge di O

$‘V=RI‘$

Condensatori

$‘C=\frac{q}{V}‘$

• Capacitá

$‘\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}‘$

• Condensatori in serie

$‘C=C_1+C_2‘$

• Condensatori in parallelo

$‘U_E=\frac{q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{V}^2=\frac{1}{2}qV‘$

• Energia immagazzinata in un condensatore

1. Condensatore Piano $‘C={\epsilon }_0\frac{S}{d}‘$

   • $${\epsilon }_0=\frac{1}{4\pi k_0}$$

   $‘E=\frac{\sigma }{{ϵ}_0}‘$ $‘V=Ed‘$

Resistenze

$‘R_{eq}=R_1+R_2‘$ $‘\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}‘$

$‘P=R{I}^2‘$

• potenza assorbita nella resistenza

$‘P=VI‘$

• potenza erogata da una forza elettromotrice (f.e.m.)

Kirchhoff

$$\sum _i{I}_i=0$$

• nodi

$$\sum _j{f}_j-\sum _k{R}_k{I}_k=0$$

• maglie

Circuito RC

$‘q(t)=q_0(1-e^{-t/\tau })‘$ $‘i(t)=\frac{dq}{dt}=i_0{e}^{-t/\tau }‘$

• dove $‘\tau =RC‘$

Magnetismo

$‘B=2k_m\frac{I}{r}‘$

• modulo del campo magnetico generato da un filo rettilineo di lunghezza infinita percorso da una corrente $‘I‘$ in punto a distanza $‘r‘$ dal filo

$‘B=4\pi k_{m}nI={\mu }_{0}nI‘$

• modulo del campo magnetico generato da un solenoide rettilineo ideale

$$\vec{B}=2k_m\frac{I\pi R^2}{(R^2+z^2{)}^{3/2}}\vec{n}$$

• Campo generato da una spira circolare percorsa da corrente, lungo l’asse della spira

$$\vec{B}=\frac{k_m}{k_e}\vec{v}\times \vec{E}$$ $$\vec{B}=\frac{1}{c^2}{\vec{v}}_a\times {\vec{E}}_B$$

• Campo generato da una carica in moto in un campo elettrico

$‘\vec{F}=q_0\vec{v}\times \vec{B}‘$

• forza su una particella carica $‘q_0‘$ in moto in un campo magnetico

$‘\vec{F}=\vec{I}\times \vec{B}l‘$

• forza su un filo rettilineo di lunghezza $‘l‘$ percorso da corrente

$$F=2k_m\frac{I_1{I}_2}{d}l$$

• modulo della forza fra due fili rettilei paralleli percorsi da corrente

$‘\vec{m}=IS‘$

• momento di dipolo magnetico di una spira di area $‘S‘$

$${\Phi }_{\Sigma }(\vec{B})={\int }_{\Sigma }\vec{B}\cdot \vec{n}dS$$

• flusso campo magnetico attraverso una superfice $‘\Sigma ‘$

$‘{\Phi }_B=\vec{B}\cdot \vec{n}S=BS\cos \theta ‘$

Faraday Lenz

$${\epsilon }_i=-\frac{d{\Phi }_{\Sigma }(\vec{B})}{dt}$$

Fili

$$F=\frac{{\mu }_0{I}_1{I}_{2}l}{2\pi d}$$

• repulsiva con correnti nel verso opposto, attrattiva se nello stesso verso

Induttanza

$‘\epsilon =-L\frac{dI}{dt}‘$

• f.e.m. autoindotta

$‘L=4\pi k_m{n}^{2}lS={\mu }_0{n}^{2}lS‘$

• induttanza di solenoide rettilineo

$‘U_M=\frac{1}{2}L{I}^2‘$

• energia immagazzinata in un solenoide

$‘L_{eq}=L_1+L_2‘$

• induttanze in serie

$‘\frac{1}{L_{eq}}=\frac{1}{L_1}+\frac{1}{L_2}‘$

• induttanze in parallelo

Forza elettromotrice autoindotta:

Circuito LR

$‘I=I_0(1-e^{-t/\tau })‘$

• corrente dopo chiusura con $‘\tau =\frac{L}{R}‘$

$‘I=I_0{e}^{-t/\tau }‘$

Circuito LC

$‘q=q_0\cos ({\omega }_{0}t+\varnothing )‘$

• dove $‘{\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}‘$

Circuito RLC

$‘Z=\sqrt{R^2+(\omega L-\frac{1}{\omega C}{)}^2}‘$

• impedenza in presenza di una f.e.m. alternata con pulsazione $‘\omega ‘$